원주율...

파이(원주율)를 무한급수로 나타내는법, 유도과정좀 알려주세요

taekhan123 (마감률 : 2/2) 조회 :8 답변 : 1 내공 : 0

답변기간이 5일 남았습니다. (2006-01-18 22:10 작성)

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페르마의 마지막정리라는 책에서 파이를 무한급수로 나타내었는데 어떻게 그렇게 유도했는지 몹시 궁금합니다. 그 유도과정좀 알려주시면 매우 감사하겠습니다.

답변

re: 파이(원주율)를 무한급수로, 고교 이과 과정 이상을 이수해야 이해 가능

chunter (2006-01-18 22:55 작성, 2006-01-18 23:03 수정)

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간단히 설명합니다. 미적분을 응용함. 먼저 삼각함수의 미분을 알아야 함. 초월 함수의 미적분과 친하지 않으면 여기서 화면을 빠져나가기를 추천함. 이해 해야 할 과정. 1. 삼각함수의 미분 2. 역함수의 정의와 의미 3. 무한 등비 수열의 합. (사족: 삼각 함수 중 arctan의 미분과 arctan(1)=π/4 을 이해 바람. (증명 tan(π/4)=1에서)) 그리고 이 식은 공비가 r (-1<r<1) 인 등비수열의합을 위의 식과 같이 쓸 수도 있다는 것을 알수 있다. 우변을 수열의 합으로 풀어놓으면 다음과 같이도 쓸 수 있다. 양변을 적분하면 미적분의 정의에서 좌변=arctan(x)이고 우변은 x=1을 대입하면(사실은 1이 아니고 x->1 로 1에 가까운 극한 값을 넣지만) x 가 있는 것 들은 모두 1이 되고 식은 arctan(1) = 1+(-1/3)+(1/5)+(-1/7)+(1/9).... 이렇게 됩니다. 이것을 다시 수열의 식으로 정리하면 초항이 1이고 일반항이 (1/2n-1)(-1)^(n-1) 이런 수열의 합으로 나타낼수 있습니다 그런데 arctan(1)=π/4 이므로 이렇게 나타낼 수 있습니다. 그러므로 가 됩니다.